Masukkan 1 {\displaystyle 1} ke dalam. x {\displaystyle x} pada fungsi untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum: f ( x) = â 3 x 2 + 6 x â 4 {\displaystyle f (x)=-3x^ {2}+6x-4} f ( x) = â 3 ( 1) 2 + 6 ( 1) â 4 {\displaystyle f (x)=-3 (1)^ {2}+6 (1)-4} f ( x) = â 3 + 6 â 4 {\displaystyle f (x)=-3+6-4}
Contohsoal program linear dan pembahasan contoh soal 1: 2) f ( x) mempunyai nilai balik minimum f ( c) dan titik ekstrem ( c, f ( c)). Nilai minimum fungsi obyektif f (x, y) = 3x + 2y dari daerah yang. Kemudian 1 stel rok memerlukan 2 meter kain wol dan 2 meter kain sutra. Suatu fungsi kuadrat bisa ditentukan apakah memiliki nilai minimum atau
mencariTitik balik maksimum dan minimum pada persamaan kuadrat beserta nilai ekatrim Video yang bersesuaian : 1. Titik balik maksimum minimum fungsi kuadrat contoh 1 2.
Vay Nhanh Fast Money.
Kelas 12 SMATurunan Fungsi TrigonometriTurunan TrigonometriTitik balik minimum dan titik balik maksimum dari fungsi y = 3 sin 2x+phi/6 + 2 pada interval 0<=x<=phi berturut-turut adalah ....Turunan TrigonometriNilai Maksimum dan Nilai Minimum FungsiTurunan Fungsi TrigonometriTurunanKALKULUSMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0341Nilai maksimum fungsi fx=x^3+3x^2-9x adalah ....0202Diketahui suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari den...0324Koordinat titik balik maksimum fungsi fx=x^3-3x^2-9x ...0118Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari, maka bi...Teks videoKoperasi untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum untuk fungsi trigonometri ini kita harus mengubah y menjadi y aksen atau kita turunkan Kenapa karena dikatakan y aksen itu sama dengan nol atau hasil tekanan yang pertama sama dengan nol ini cara untuk mengubahnya jika misalkan ada salah kan siang jadi kita pakai yang sin-sin UU ini adalah di soal adalah 2 x min phi per 6 itu diubah menjadi cos X aksen di mana Maunya kita ambil lalu kita turunkan Enggak di sini 2 x min phi per 6 karena dia itu pengurangan maka Kini kita tuh kan satu persatu untuk dipakai itu dihilangkan sudah tidak ada X Nah untuk 2x itu pangkatnya dikurangi dengan 1 pangkat x nya karena itu turun itu seperti itu diturunkan pangkat x = 1 maka ini menjadi hanya 2 saja untuk maka luasnya 2 lalu yang sini itu diubah menjadi kos maka ini kita tulis 3 Cos 2 x min phi per 6 nah ini sama dengan nolkelas 2 di sini sudah tidak adakah Nas diturunkan maka kita bagi kedua ruas ini yang ini dengan posisi ini dengan 6 kan udah kayak gitu 6 Nah ini kan = 0 nilai cos yang nilai nol yaitu cos 90 derajat sehingga untuk menentukan nilai dari X Kita akan menggunakan dua cara seperti ini cos x = cos a = i + k * 31 derajat atau x = a + k * 30 derajat X yang kita cari nanti kau itu yang akan kita coba masukkan bisa 0 1 2 atau 3 kita tulis seperti ini langsung kita Ubah menjadi 30 derajat dan Kita pindah ke kanan untuk yang dua-duanya kalau kita bagi kedua ruas dengan 2 untuk mencari x nya kita masukkan Kakaknya bisa 012 tergantung dengan jangkauan internet di sini adalah 0 hingga 150 derajat itu Pi makan di sini kita pakai adalah 150 derajat dan 60 derajat kita masukkan 60 dan 150 derajatdalam y = 3 sin 2x min 6 per 22 dikali 620 dikurang 30 adalah 90 Sin 90 derajat adalah 11 * 3 yaitu 33 + 25 + 2 dikalikan dengan 150 332 70 Sin 270 adalah minus 1 karena sinar 70 = Sin 10 + 90 dengan y = Sin 90 Namun karena Sin 70 derajat ini ada di kuadran yang ketiga di mana sini itu nyatanya negatif dikali anak ketiga sehingga dia menjadi min 1 bukan 1 min 1 dikali dengan 3 adalah minus 3 ditambah dengan dua yaitu satu kedua ini merupakan titik balik maksimum dan minimum nya 60 Ubah menjadi + 3,55 yaitu ini kayaknya dan Sophia jadi tuh kita Ubah menjadi 5 phi per 6 min 1 maka tentukan yang mana yang maksimum yang mana yang minimumhanya dengan menurunkan y aksen ya, Jadi kita pakai turunan kedua dari ini Keraton kan jadi ya selalu ya sayang kita turunkan lagi yaitu 6 cos 2x Min 63 tahun kan lagi di sini adalah 2 x min phi per 6 karena dia itu kos ini kita Ubah menjadi beenzino dikali dengan aksen sehingga ini kita Ubah menjadi uang sen yaitu adalah 2 dikalikan dengan 6 malam ini ketulis lagi dan kosek kita Ubah menjadi bensin dan punya itu tetap sama 2 x min phi per 6 itu sama dengan berikut maka di kota kita masukkan 60 dan 150 derajat ke dalam satuan kedua ini makanya kita hitung menjadi seperti ini MIN 12 dikali dengan 1000 derajat adalah MIN 12 juga dan MIN 12 Sin 270° itu dipecah menjadi Sin 80 + 90 di mana Ini lagi itu = Sin 90 yaitu 1 Namun karena dia itu kuadrat yang ke-37 tadinya kan kalau ngetikItu negatif karena sini tuh nilainya negatif di kuadran yang ketiga jika MIN 12 dikali dengan min satu yaitu 12. Nah yang nilainya itu negatif atau lebih kecil daripada dia itu merupakan titik balik maksimum nya cuma titik balik maksimum nya adalah 60 derajat dan 1 derajat adalah titik balik dari minimumnya maka titik balik minimum dan maksimum berturut-turut adalah sebagai berikut dimana 56 adalah 150 derajat dan pipa 3 adalah 60° jawabannya adalah delta sampai jumpa Disa berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul
Kondisi suatu grafik fungsi $y = fx$ mempunyai tiga keadaan, yaitu keadaan naik kurva fungsi naik, keadaan turun kurva fungsi turun, dan keadaan diam kurva fungsi stasioner. Kali ini, kita akan membahas mengenai kondisi suatu fungsi ketika dalam keadaan diam stasioner beserta perluasannya. Nilai Stasioner dan Titik Stasioner Misalkan $c$ adalah anggota dari domain asal fungsi $f$. Jika $f'c = 0$, maka $fc$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x = c$. Pasangan nilai $c$ dan $fc$ dalam koordinat berbentuk $c, fc$ dinamakan titik stasioner. Titik stasioner juga disebut titik kritis, titik balik, titik ekstrem, atau titik optimum. Jenis-jenis Ekstrem Suatu Fungsi Penentuan jenis-jenis ekstrem suatu fungsi dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu uji turunan pertama dan uji turunan kedua. a. Uji turunan pertama Jika $f'c = 0$, maka $fc$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x=c$. Nilai stasioner mungkin saja merupakan nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau titik belok horizontal pada grafik fungsi $f$. Jenis nilai-nilai stasioner ini dapat ditentukan dengan memperhatikan tanda kepositivan $f'x$ di sekitar $x=c$. $fx$ mempunyai nilai balik maksimum $fc$ jika $f'x$ berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol. $fx$ mempunyai nilai balik minimum $fc$ jika $f'x$ berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol. $fx$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ jika $f'x$ tidak berganti tanda saat melalui nol. Tafsiran geometri dari uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrem fungsi dapat dilihat di bawah. 1 $fx$ mempunyai nilai balik maksimum $fc$ dan titik ekstrem $c, fc.$ 2 $fx$ mempunyai nilai balik minimum $fc$ dan titik ekstrem $c, fc.$ 3 $fx$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ dengan titik belok $c, fc.$ Dalam hal ini, $fc$ bukan nilai ekstrem fungsi. b. Uji turunan kedua Uji turunan kedua sangat diperlukan untuk menentukan titik belok kurva suatu fungsi. Uji turunan kedua pada penentuan jenis ekstrem fungsi juga didasari pada pengamatan tanda kepositivan $f'c$ di sekitar $x=c$ yang diperoleh dari $f'x = 0$. Uji turunan kedua diperlukan untuk fungsi polinomial berderajat tiga atau lebih. Misalkan fungsi $f$ kontinu dan diferensiabel dapat diturunkan dalam interval $I$ yang memuat $x=c.$ Turunan pertamanya adalah $f'x$, sedangkan turunan keduanya adalah $f^{\prime \prime}x$ pada interval $I$, serta $f'c = 0$ dengan $fc$ adalah nilai stasioner. Jika $f^{\prime \prime}c 0,$ maka $fc$ adalah nilai balik minimum fungsi $f$. Jika $f^{\prime \prime}c = 0,$ maka $fc$ bukan nilai ekstrem fungsi dan titik $c, fc$ adalah titik belok kurva fungsi $f$. Untuk memantapkan pemahaman, berikut ini telah disajikan sejumlah soal dan pembahasan terkait masalah nilai maksimum dan minimum menggunakan turunan diferensial. Semoga bermanfaat. Today Quote If everything was perfect, you would never learn and you would never grow. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Fungsi $y = x^3-3x^2+3x-2$ mempunyai nilai stasioner $\cdots \cdot$ A. $x=0$ D. $y=0$ B. $x=1$ E. $y=-1$ C. $y=1$ Pembahasan Diketahui $fx = y = x^3-3x^2+3x-2.$ Nilai-nilai stasioner $fx$ didapat ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 3x^2-6x+3 & = 0 \\ 3x^2-2x+1 & = 0 \\ 3x-1^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh nilai stasioner $$\begin{aligned} f1 & = 1^3-31^2+31-2 \\ & = 1-3+3-2 \\ & = -1. \end{aligned}$$Jadi, nilai stasioner fungsi tersebut adalah $\boxed{ y = -1}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan â Fungsi Naik dan Fungsi Turun Soal Nomor 2 Fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $-1$ D. $0$ atau $1$ B. $0$ E. $-1$ atau $1$ C. $1$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10.$ Nilai-nilai stasioner $fx$ didapat ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ x^2-x & = 0 \\ xx-1 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}&~x = 1 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\boxed{0~\text{atau}~1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Titik stasioner dari fungsi $gx = x^3-3x+3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1,1$ dan $-1,-5$ B. $1,1$ dan $-1,5$ C. $1,1$ dan $1,-5$ D. $-1,1$ dan $1, 5$ E. $-1, -1$ dan $1, 5$ Pembahasan Diketahui $gx = x^3-3x+3.$ Titik stasioner dicari saat $g'x = 0.$ $$\begin{aligned} g'x & = 0 \\ 3x^2-3 & = 0 \\ 3x^2-1 & = 0 \\ 3x+1x-1 & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = -1$, diperoleh $$\begin{aligned} f-1 & = -1^3-3-1+3 \\ & = -1+3+3 = 5 \end{aligned}$$sehingga titik stasionernya adalah $-1, 5.$ Untuk $x = 1$, diperoleh $\begin{aligned} f1 & = 1^3-31+3 \\ & = 1-3+3 = 1 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $1, 1.$ Jadi, fungsi $g$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{-1, 5~\text{dan}~1,1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 Fungsi $px = 2x^3-9x^2+12x$ mempunyai titik stasioner $\cdots \cdot$ A. $1, 5$ dan $4, 2$ B. $1, 5$ dan $2, 4$ C. $-5, 1$ dan $2, 4$ D. $5, 1$ dan $2, 4$ E. $5, 1$ dan $4, 2$ Pembahasan Diketahui $px = 2x^3-9x^2+12x$. Titik stasioner dicari saat $p'x = 0.$ $$\begin{aligned} p'x & = 0 \\ 6x^2-18x + 12 & = 0 \\ 6x^2-3x+2 & = 0 \\ 6x-2x-1 & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh $\begin{aligned} p1 & = 21^3-91^2+121 \\ & = 2-9+12 = 5 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $1, 5.$ Untuk $x = 2$, diperoleh $\begin{aligned} p2 & = 22^3-92^2+122 \\ & = 16-36+24=4 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $2,4.$ Jadi, fungsi $p$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{1, 5~\text{dan}~2, 4}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan â Turunan Fungsi Aljabar Soal Nomor 5 Fungsi $ft = -2t^2+t+3$ mempunyai $\cdots \cdot$ A. nilai balik maksimum, $y = 0,\!25$ B. nilai balik minimum, $y = -\dfrac14$ C. nilai balik maksimum, $y = 3,\!125$ D. nilai balik minimum, $y = -3,\!125$ E. nilai balik maksimum, $y = 0,\!5$ Pembahasan Diketahui $ft = -2t^2+t+3$. Titik stasioner dicari saat $f't = 0.$ $$\begin{aligned} f't & = 0 \\ -4t + 1 & = 0 \\ t & = \dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $ft$ adalah $f^{\prime \prime}t = -4$ sehingga untuk $t = \dfrac14$, diperoleh $f^{\prime \prime}\left\dfrac14\right = -4 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka itu berarti $-3, 0$ adalah titik balik minimum. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 7 Fungsi $y = t^2-5t+6$ mempunyai nilai ekstrem $\cdots \cdot$ A. maksimum di $y = -\dfrac14$ B. minimum di $y = -\dfrac14$ C. maksimum di $y = 2$ D. minimum di $y = 2$ E. minimum di $y = 6$ Pembahasan Diketahui $y = t^2-5t+6.$ Titik stasioner dicari saat $yâ = 0.$ $$\begin{aligned} 2t-5 & = 0 \\ 2t & = 5 \\ t & = \dfrac52 \end{aligned}$$Substitusi $t = \dfrac52$ pada $y$, kita peroleh $$\begin{aligned} y & = \left\dfrac52\right^2-5\left\dfrac52\right+6 \\ & = \dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+6 \\ & = \dfrac{25-50+24}{4} = -\dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $y$ adalah $y^{\prime \prime}t = 2$ sehingga untuk $t = \dfrac52,$ diperoleh $f^{\prime \prime}\left\dfrac52\right = 2 > 0.$ Ini artinya fungsi tersebut memiliki nilai ekstrem minimum di $y = -\dfrac14.$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Titik balik maksimum dari kurva $fx = \dfrac14x^4-2x^2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2, -4$ D. $2, -4$ B. $-2, 4$ E. $2, 4$ C. $0, 0$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac14x^4-2x^2.$ Titik stasioner dicari saat $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^3-4x & = 0 \\ xx^2-4 & = 0 \\ xx+2x-2 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = -2~\text{atau}~x = 2 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 3x^2-4.$ Substitusi $x = 0$ menghasilkan $f^{\prime \prime}0 = 30^2-4 = -4 0.$ Substitusi $x = 2$ menghasilkan $f^{\prime \prime}2 = 32^2-4 = 8 > 0.$ Karena $f^{\prime \prime}0$ bernilai negatif, maka itu berarti titik $x = 0$ merupakan absis titik balik maksimum Substitusi $x = 0$ pada $fx,$ kita peroleh $$\begin{aligned} fx & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f0 & = \dfrac140^4-20^2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, titik balik maksimum fungsi $f$ adalah $\boxed{0,0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 9 Fungsi $fx = 4x^3-18x^2+15x-20$ akan mencapai maksimum saat nilai $x = \cdots \cdot$ A. $3,\!0$ D. $1,\!5$ B. $2,\!5$ E. $0,\!5$ C. $2,\!0$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x^3-18x^2+15x-20.$ Akan dicari nilai $x$ saat $f$ stasioner. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 34x^2-12x+5 & = 0 \\ 32x-12x-5 & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 24x-36.$ Sekarang, uji nilai turunan kedua $f$ untuk $x = \dfrac12$ dan $x = \dfrac52.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left\dfrac12\right & = 24\left\dfrac12\right-36 = -24 0 \end{aligned}$$Karena $f^{\prime \prime}\left\dfrac12\right$ bernilai negatif, maka itu berarti nilai fungsi $f$ mencapai maksimum saat nilai $\boxed{x=\dfrac12=0,\!5}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan â Turunan Fungsi Menggunakan Limit Soal Nomor 10 Nilai maksimum dari fungsi $ft = t + \sqrt{a-2t}$ adalah $10$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $23$ C. $17$ E. $12$ B. $19$ D. $14$ Pembahasan Diketahui $ft = t + \sqrt{a-2t}.$ Turunan pertama fungsi $f$ dinyatakan oleh $$\begin{aligned} f't & = 1+\dfrac12 \cdot a-2t^{-1/2} \cdot -2 \\ & = 1-\dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} \end{aligned}$$Fungsi $f$ maksimum ketika $f't = 0$ sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 1-\dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} & = 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} & = 1 \\ \sqrt{a-2t} & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $f_{\text{maks}}t = t + 1 = 10$, berarti $t = 9.$ Karena itu, $$\begin{aligned} \sqrt{a-2\color{red}{9}} & = 1 \\ a-18 & = 1 \\ a & = 19 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a=19}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 11 Koordinat titik belok fungsi $fx = x^3-6x^2+12x+5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2, -3$ D. $2, 10$ B. $-2, 7$ E. $2, 13$ C. $-2, 5$ Pembahasan Diketahui $fx = x^3-6x^2+12x+5.$ Turunan pertama dan keduanya berturut-turut adalah $$\begin{aligned} f'x & = 3x^2-12x+12 \\ f^{\prime \prime}x & = 6x-12 \end{aligned}$$Titik belok grafik fungsi dicari ketika $f^{\prime \prime}x = 0$, yaitu $6x-12 = 0$ sehingga diperoleh $x = 2.$ Substitusi $x = 2$ pada $fx$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} f2 & = 2^3-62^2+122+5 \\ & = 8-24+24+5 = 13 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik beloknya adalah $\boxed{2, 13}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 12 Koordinat titik belok dari fungsi $fx = \dfrac14x^4-2x^2$ adalah $\cdots \cdot$ $-2, -4$ dan $2, 4$ $2, 4$ dan $-2, 4$ $-2, -4$ dan $2, -4$ $\left-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right$ dan $\left\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right$ $\left\dfrac13\sqrt3, 4\right$ dan $\left-\dfrac12\sqrt3, -4\right$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac14x^4-2x^2$. Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^3-4x \\ f^{\prime \prime}x & = 3x^2-4 \end{aligned}$$Titik belok kurva fungsi $f$ dicapai saat $f^{\prime \prime}x = 0.$ Kita peroleh $$\begin{aligned} 3x^2-4 & = 0 \\ x^2 & = \dfrac43 \\ x & = \pm \sqrt{\dfrac43} \\ x & = \pm \dfrac{2}{\sqrt3} = \pm \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan dua nilai $x$ tersebut pada $fx.$ $$\begin{aligned} fx & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f\left\dfrac23\sqrt3\right & = \dfrac14 \cdot \left\dfrac43\right^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \\ f\left-\dfrac23\sqrt3\right & = \dfrac14 \cdot \left\dfrac43\right^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik belok fungsi $f$ adalah $\boxed{\left-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right}$ dan $\boxed{\left\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Nilai minimum fungsi $fx = x^3 + 3x^2-9x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $27$ D. $-5$ B. $5$ E. $-27$ C. $0$ Pembahasan Diketahui $fx = x^3+3x^2-9x.$ Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 3x^2+6x-9 & = 0 \\ 3x^2+2x-3 & = 0 \\ 3x+3x-1 & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x&=1 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 6x + 6.$ Substitusi $x = -3$ menghasilkan $f^{\prime \prime}-3 = 6-3 + 6 = -12 0.$ Ini berarti, fungsi $f$ minimum ketika $x = 1$, yaitu $\boxed{f1 = 1^3+31^2-9 = -5}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 14 Selisih nilai maksimum dan minimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $\dfrac52$ E. $\dfrac92$ B. $\dfrac32$ D. $\dfrac72$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^2+x-2 \\ f^{\prime \prime}x & = 2x+1 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^2+x-2 & = 0 \\ x+2x-1 & = 0 \\ x = -2~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Selanjutnya, uji dua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}x = 2x+1$. $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}-2 & = 2-2 + 1 = -3 0 \end{aligned}$$Dapat disimpulkan bahwa fungsi $f$ mencapai nilai maksimum di $x = -2$ dan mencapai nilai minimum di $x = 1.$ $$\begin{aligned} f-2 & = \dfrac13-2^3+\dfrac12-2^2-2-2 + 5 \\ & = -\dfrac83 + 2+4+5 = \dfrac{25}{3} && \text{maksimum} \\ f1 & = \dfrac121^3 + \dfrac131^2-21 + 5 \\ & = \dfrac13 + \dfrac12-2+5 = \dfrac{23}{6} && \text{minimum} \end{aligned}$$Dengan demikian, selisih nilai maksimum dan minimum fungsi $f$ adalah $$\boxed{\dfrac{25}{3}-\dfrac{23}{6} = \dfrac{27}{6} = \dfrac92}$$Jawaban E [collapse] Soal Nomor 15 Nilai maksimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $9$ C. $\dfrac92$ E. $\dfrac32$ B. $4$ D. $\dfrac{23}{6}$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^2-3x \\ f^{\prime \prime}x & = 2x-3 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^2-3x & = 0 \\ xx-3 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Uji kedua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}x = 2x-3.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}0 & = 20-3= -3 0 \end{aligned}$$Ini berarti, nilai maksimum lokal fungsi $f$ tercapai saat $x = 0$ karena $f^{\prime \prime}0$ bernilai negatif. Substitusi $x = 0$ pada $fx$, diperoleh $f0 = \dfrac130^3-\dfrac320^2+9=9.$ Jadi, nilai maksimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\boxed{9}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan â Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan Soal Nomor 16 Nilai maksimum fungsi $$fx = 4x^3 + px^2 + 15x-20$$ dicapai oleh $x = \dfrac12$, maka nilai minimum $fx$ dicapai pada $x = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $2$ E. $3$ B. $\dfrac35$ D. $\dfrac52$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x^3 + px^2 + 15x-20.$ Turunan pertama fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$f'x = 12x^2+2px + 15$$Karena diketahui bahwa $x = \dfrac12$ membuat nilai fungsi $f$ maksimum, maka substitusi $x = \dfrac12$ harus membuat $fâ\left\dfrac12\right = 0$. $$\begin{aligned} 12\left\dfrac12\right^2 + 2p \cdot \left\dfrac12\right + 15 & = 0 \\ 3 + p + 15 & = 0 \\ p & = -18 \end{aligned}$$Sekarang, $fx = 4x^3-18x^2+15x-20.$ Turunan pertama dan keduanya adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = 12x^2-36x +15 \\ f^{\prime \prime}x & = 24x-36 \end{aligned}$$Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner, yaitu ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 34x^2-12x+5 & = 0 \\ 32x-12x-5 & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Nilai $x = \dfrac12$ diketahui membuat nilai $f$ maksimum. Sekarang, akan dicek untuk $x = \dfrac52$ dengan cara substitusi pada $f^{\prime \prime}x = 24x-36.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left\dfrac52\right & = 24\left\dfrac52\right-36 = 24 > 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka $x = \dfrac52$ membuat nilai $f$ minimum. Jawaban D [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan â Turunan Fungsi Implisit Soal Nomor 17 Jika $gx = \displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t$ untuk $0 \leq x \leq 7,$ maka $\cdots \cdot$ $gx$ mencapai nilai minimum di $x=1$ $gx$ mencapai nilai minimum di $x=7$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=2$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=4$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=6$ Pembahasan Perhatikan bahwa $gx = \displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t$ mengimplikasikan $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} gx & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left\displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t\right \\ g'x & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} Fx-F0 \\ g'x & = fx-0 \\ g'x & = fx \end{aligned}$$Grafik pada soal menunjukkan kurva turunan fungsi $g.$ Tampak bahwa grafik memotong sumbu-$X$ pada $x = 0$, $x = 2,$ dan $x = 6$ sehingga titik ekstrem fungsi $g$ di ketiga titik tersebut. Grafik juga turun pada interval $0 0.$ Artinya, nilai $f$ minimum tercapai saat $x = 3.$ Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{3}$ [collapse] Soal Nomor 2 Fungsi kuadrat $fx = ax^2+bx+4$ mempunyai koordinat titik balik maksimum di $1, -1$. Hitunglah nilai $ab.$ Pembahasan Diketahui $fx = ax^2+bx+4.$ Karena grafik melalui titik $1, -1$, maka substitusikan $x=1$ dan $y=-1$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} a1^2+b1+4 & = -1 \\ a+b & = -5 && \cdots 1 \end{aligned}$$Nilai $x = 1$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} f'x & = 2ax +b \\ 0 & = 2a1+b \\ b & = -2a && \cdots 2 \end{aligned}$$Dari Persamaan $1$ dan $2$, diperoleh $a = 5$ dan $b = -10$ sehingga nilai $\boxed{ab = 5-10 = -50}$ [collapse] Soal Nomor 3 Tentukan nilai $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $fx = a\sqrt{x} + \dfrac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik balik $4, 13.$ Pembahasan Diketahui $fx = a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}.$ Karena $4, 13$ dilalui oleh grafik fungsi tersebut, maka substitusikan $x = 4$ dan $y = 13$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} 13 & = a\sqrt{4} + \dfrac{b}{\sqrt4} \\ 13 & = 2a + \dfrac{b}{2} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~2 \\ 26 & = 4a + b && \cdots 1 \end{aligned}$$Nilai $x = 4$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} fx & = ax^{\frac12} + bx^{-1/2} \\ \Rightarrow f'x & = \dfrac12ax^{-\frac12}-\dfrac12bx^{-\frac32} \\ f'x & = \dfrac{a}{2\sqrt{x}}-\dfrac{b}{2x\sqrt{x}} \\ 0 & = \dfrac{a}{2\sqrt4}-\dfrac{b}{24\sqrt4} \\ 0 & = \dfrac{a}{4}-\dfrac{b}{16} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~16 \\ 0 & = 4a-b && \cdots 2 \end{aligned}$$Dari Persamaan $1$ dan $2$, diperoleh $a=\dfrac{13}{3}$ dan $b=13.$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan â Aplikasi Turunan Diferensial Soal Nomor 4 Carilah jika mungkin nilai-nilai maksimum dan minimum dari fungsi $fx = x^2 + x^{-2}.$ Pembahasan Diketahui $fx=x^2+x^{-2}.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = 2x-2x^{-3} \\ f^{\prime \prime}x & = 2+6x^{-4} \end{aligned}$$Nilai $x$ yang membuat $f$ stasioner dapat dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} 2x-2x^{-3} & = 0 \\ \text{Kalikan kedua}&~\text{ruas dengan}~x^3 \\ 2x^4-2 & = 0 \\ x^4 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$$Substitusi dua nilai $x$ ini pada $f^{\prime \prime}x = 2+6x^{-4}.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}-1 & = 2+6-1^{-4} = 2+6 = 8 > 0 \\ f^{\prime \prime}1 & = 2+61^{-4} = 2+6 = 8>0 \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai positif, maka $x = -1$ dan $x = 1$ membuat $f$ mencapai minimum. Nilai minimumnya dapat dicari dengan melakukan substitusi kedua nilai tersebut pada $fx = x^2+x^{-2}$. $$\begin{aligned} f-1 & = -1^2+-1^{-2} = 1+1 = 2 \\ f1 & = 1^2 + 1^{-2} = 1+1= 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai minimum fungsi $f$ adalah $\boxed{2}$, sedangkan nilai maksimumnya tidak ada. Grafik fungsi $f$ dapat dilihat pada gambar di bawah. [collapse] Soal Nomor 5 Buktikan bahwa setiap fungsi kuadrat $fx = ax^2 + bx + c$, dengan $a \neq 0$, mempunyai tepat satu titik kritis. Pembahasan Diketahui $fx = ax^2+bx+c.$ Turunan pertama fungsi kuadrat tersebut adalah $f'x = 2ax + b.$ $f$ stasioner ketika $f'x = 0$ sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 2ax + b & = 0 \\ 2ax & = -b \\ x & = -\dfrac{b}{2a} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -\dfrac{b}{2a}$ pada $fx,$ diperoleh $$\begin{aligned} f\left-\dfrac{b}{2a}\right & = a\left-\dfrac{b}{2a}\right^2 + b \cdot \left-\dfrac{b}{2a}\right + c \\ & = \dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a} + c \\ & = \dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a} \\ & = \dfrac{-b^2+4ac}{4a} \\ & = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa setiap fungsi kuadrat mempunyai tepat satu titik kritis, yaitu $\boxed{\left-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right}$ [collapse]
cara menentukan titik balik maksimum dan minimum
